예전에, 사먼 싱이 지은 “페르마의 마지막 정리”의 책을 인상깊게 읽은 적이 있다. 수학의 난제 중 하나인 페르마의 정리를 증명한 앤드류 와일즈의 일생과 그의 노력을 서술한 작품이다. 17세기 피에르 드 페르마가 책구석 여백에 적었던

$$ X^n + Y^n = Z^n $$

“위의 방정식을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않다”는 한줄에 앤드류 와일즈 외 약 350년간의 수많은 수학자들의 노력이 생생하게 느껴지는 내용이어서 감동깊게 읽었다.

이번에 넷플릭스에 “삼체”라는 다소 어색한 용어의 드라마가 나왔는데 이것이 또한 수학의 난제 중 하나와 관계 있다는 사실을 알고 흥미를 가지게 되어 관련 내용을 한번 찾아보았다.

[Netflix 삼체 장면 중]

삼체문제를 찾아보면서 삼체문제에 대해서 자신만의 논리를 발전시키고 있는 수학자(Richard Montgomery & Simó)의 글을 찾게 되었고 내용이 매우 수학적으로 어려운 관계로 해석이 가능한 수준에서 가급적 이해하기 쉽게 나의 해석을 첨가하고 이를 넷플릭스 삼체와 연계시켜 설명해보고자 한다.

The Three-Body Problem

원문자료

삼체(Three Body) Problem란?

뉴턴의 이체(Two Body Problem) 문제

넷플릭스 삼체에 대해서 논의하기 전에 삼체 문제는 1687년 아이작 뉴턴의 ‘프린키피아’까지 거슬러 올라가야 설명이 가능하다. 뉴턴은 그의 저서에서 “두 질량이 서로에게 작용하는 유일한 힘이 그들 상호간의 중력인 상황에서 어떻게 우주에서 움직이는가?"라는 질문을 던지며, 이를 미분 방정식을 통해 설명하였고, 현재의 위치와 속도로부터 물체의 미래 운동을 추정할 수 있는 완전한 방정식을 제시하였다. 뉴턴은 물체가 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 중 하나를 따라 움직이는 궤도를 가진다는 것을 증명하였다. 이체 문제는 고전역학에서 미분 방정식을 통해 증명이 가능하다. (상세 설명은 첨부1)

이체와 관련된 모든 궤도를 찾아내면서, 뉴턴은 과거 케플러가 1609년에 발표한 경험적인 법칙(행성의 천문학적인 관측을 통한 데이터에 근거한)인 세가지 행성운동법칙도 증명하였다. 이는 설명적으로 간단하게 이해가 된다. 아주 쉽게 태양과 지구를 생각해본다면 아래의 Figure 1의 첫번째 그림이 될 것이다. 질량이 차이가 너무 크게 난다면 우리가 알다시피 태양을 중심으로 지구가 공전하는 궤도를 지니게 될 것이다. 물론 태양도 궤도를 지니지만 워낙 차이나는 질량의 차이로 사실상 태양이 두 질량의 초점이 될 것이다.

만약, 질량이 같은 두 행성(예를 들어 쌍성의 경우)라면 Figure 1의 두번째 그림과 같은 궤도를 지니게 될것이다. 이는 이해가 쉬우니 굳이 설명을 할 필요는 없을 것 같다.

• 첨부1) 이체 문제 증명

삼체(Three Body Problem) 문제와 삼체인

삼체문제는 실상 아주 간단하다. 이체문제에 하나의 질량을 추가하면 되는 것이다. 결국, 세개의 질량의 역학관계를 추론하고자 하는 것이 삼체문제인 것이다.

넷플릭스 SF드라마의 원작 소설작가인 류츠신(劉慈欣)은 이러한 삼체문제를 태양이 3개인 항성계에서 살고 있는 삼체인을 등장시키므로 이를 현실적으로 극복해야하는 문제로 만들었다. 수학을 소설적으로 아주 잘 활용한 경우라고 보여진다. 이러한 아이디어가 그를 SF소설 최고의 문학상인 휴고상의 수상자로 만든 초석일 것이라 생각이 들었다.